Operaciones lógicas básicas
Es necesario que nuestro sistema electrónico se comporte según lo establecido en la tabla de la verdad.
Para conseguirlo, se reduce la tabla de la verdad a una sola expresión que se llama función lógica.
Las funciones lógicas pueden ser muy complejas, pero siempre van a ser una combinación de las tres operaciones lógicas básicas.
Es necesario que nuestro sistema electrónico se comporte según lo establecido en la tabla de la verdad.
Para conseguirlo, se reduce la tabla de la verdad a una sola expresión que se llama función lógica.
Las funciones lógicas pueden ser muy complejas, pero siempre van a ser una combinación de las tres operaciones lógicas básicas.
A estas operaciones lógicas básicas y a las que derivan de ellas se las denomina de forma genérica álgebra de Boole.
En resumen:
Función lógica a partir de la tabla de la verdad
Se parte de un sistema electrónico del que sólo se conoce la tabla de la verdad, para obtener la función lógica se siguen los siguientes pasos:
Procedimiento:
- Suma: interruptores en paralelo. S = A + B + C
- Producto: Interruptores en serie. S = A · B · C
- Negación: pulsador normalmente cerrado. S = A'
Función lógica a partir de la tabla de la verdad
Se parte de un sistema electrónico del que sólo se conoce la tabla de la verdad, para obtener la función lógica se siguen los siguientes pasos:
Procedimiento:
- Localizar los valores 1 de la salida
- Leer los valores de las variables de entrada para cada caso en los que la salida es 1
- Asignar, por ejemplo para la variable A, A cuando vale 1 y A' cuando vale 0
- Multiplicar los valores obtenidos para cada fila
- Sumar todos los resultados
| Ejermplo 1: En el ejemplo del apartado 3, en el que un motor se pone en marcha con dos interruptores (marcha y seguridad) accionados. La tabla de verdad es:
Para obtener la función lógica, nos fijamos en las filas en las que S = 1. En este caso, sólo hay una, cuando A y B valen 1. Se trata de un producto lógico. S = A B |
| Ejermplo 2: Supongamos ahora la siguiente tabla de verdad:
S vale 1 cuando A y B valen 0. Eso se puede considerar como el producto lógico de A invertido y B invertido, A' B' Pero S también vale 1 cuando A vale 1 y B vale 0. Este caso será el producto lógico de A y B invertido, A B' En cualquiera de estos dos casos S vale 1, por lo tanto será la suma lógica de los dos. S = A' B' + A B' |
| Ejermplo 3: Supongamos ahora un caso con 3 variables, A, B y C:
Vemos donde se hace 1 la función de salida:
S = A'B'C + A'BC' + AB'C |
Tabla de verdad a partir de la función lógica
En este caso sólo se conoce la función lógica de un sistema y nos interesa rellenar su tabla de la verdad.
Procedimiento:
- Construir una tabla con el número de variables que tiene la función y la salida
- Introducir los valores de las entradas según el orden lógico
- Interpretar en cada sumando cuáles son los casos en los que la función vale 1
- Completar con ceros
Ejemplo: En primer lugar escribimos la tabla colocando las filas en el orden lógico correcto y dejando huecos en la columna de la salida:
Tendremos que poner 1 en los siguientes casos: S = A' + BC + AB'C A' :Todos aquellos en los que A valga 0 (000, 001, 010, 011). BC: Aquellos en los que B y C valgan 1, sea cual sea el valor de A (011, 111). Uno de estos casos, el 011, tenía ya un 1 porque cumplía la condición anterior, A' = 1. AB'C: Cuando A vale 1, B vale 0 y C vale 1, (101). En el resto de los casos la función valdrá 0; rellenaremos con 0 los huecos que nos hayan quedado.
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Álgebra de Boole
La función lógica puede ser bastante larga y compleja, por lo que interesa simplificarla lo más posible.
La simplificación se puede obtener a partir de ciertas reglas básicas o propiedades de Algebra de Boole.
Las propiedades asociativa, distributiva y conmutativa son bastante intuitivas, puesto que existen igualmente en la suma de números naturales a la que estamos acostumbrados; lo mismo ocurre con la propiedad a · 0 = 0.
El resto de propiedades tal vez sí necesiten de una mayor explicación.
Ejemplos de simplificación de funciones lógicas utilizando el álgebra de Boole:
Propiedad conmutativa:
Propiedad asociativa:
Propiedad distributiva:
Propiedades de la inversión:
Idempotencia:
Absorción:
Otras propiedades:
| a + b = b + a | a·b = b·a |
Propiedad asociativa:
| a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c |
| a · (b · c) = (a · b) · c = a · b · c |
Propiedad distributiva:
| a (b + c) = ab + ac | a + bc = (a + b)(a + c) |
Propiedades de la inversión:
| a + a' = 1 | a · a' = 0 |
Idempotencia:
| a + a = a | a · a = a |
Absorción:
| a + a·b = a | a (a + b) = a |
Otras propiedades:
| a + 1 = 1 | a · 0 = 0 |
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