2013/06/04

Teoría: Inversión

DEFINICIÓN:
  • Transformación basada en la PROPORCIONALIDAD INVERSA.

APLICACIONES:
  • Solución de Problemas de Tangencias.
  • Si dos formas son tangentes en T, sus inversas también lo son en T', inversa de T.
  • Simplifica los Problemas de Apolonio, ya que transforma circunferencias en rectas y viceversa.

LEYES DE LA INVERSIÓN:
  • Dos puntos inversos A y A' están alineados con el punto O llamado centro de inversión.
  • Todo par de puntos inversos verifica que el producto de sus distancias al centro es constante: OA * OA' = OB * OB' = K, siendo K la potencia de inversión.
 
          OA * OA' = OB * OB' = OT * OT' = OT elevado al cuadrado = K


ELEMENTOS DOBLES EN UNA INVERSIÓN:
  • Las rectas que pasan por O serán rectas dobles pero no de puntos dobles.
  • Las CIRCUNFERENCIAS DE AUTOINVERSIÓN, Ca con centro en O y radio igual a la raíz cuadrada de K = OT. Si la inversión es de potencia positiva, la circunferencia de autoinversión es de puntos dobles. Si la inversión es de potencia negativa, la circunferencia de autoinversión no es de puntos dobles. (La potencia de la inversión es positiva cuando A y A' están del mismo lado de O. La potencia de la inversión es negativa cuando A y A' estén en lados opuestos de O).
  • Las circunferencias que pasan por un par de puntos inversos serán circunferencias dobles pero no de puntos dobles.


INVERSIÓN DE RECTAS Y CIRCUNFERECNIAS:
A: INVERSIÓN DE UNA RECTA r QUE PASA POR O:
  • Una recta que pasa por O es inversa de sí misma dado que los puntos inversos tienen que estar alineados con O. Por lo tanto, r = r' será una recta doble pero NO de puntos dobles.
B: INVERSIÓN DE UNA RECTA r QUE NO PASA POR O:
  • La inversión de una recta r que no pasa por O es una circunferencia r' que pasa por O y tiene su centro en la perpendicular a r que pasa por O.

C: INVERSIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA c QUE PASA POR O:
  • Recíproco del teorema anterior: la inversa de una circunferencia c que pasa por O es una recta c' que no pasa por O y que es perpendicular a la recta que pasa por O y por el centro de la circunferencia.

D: INVERSIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA c QUE NO PASA POR O:
  • La inversa de una circunferencia c que no pasa por O es otra circunferencia c' homotética con ella respecto a O y con razón de homotecia Kh = K / Pot oc, siendo K la potencia de inversión y Pot oc la potencia de O con respecto a c.
          K = OA * OA' = OB * OB'
          Pot oc = OA * OB = OT1 * OT1
          Kh = K / Pot oc = OA * OA' / OA * OB' = OB * OB' / OA * OB
          OA' / OB = OB' / OA 

  • IMPORTANTE: La relación de inversión se da con los puntos de la circunferencia, no del círculo. El centro C' de la circunferencia inversa es homotético de C respecto a O, no inverso.